ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 26

26. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \frac{\operatorname{tg} 3x - \operatorname{tg} x}{1 + \operatorname{tg} 3x \operatorname{tg} x} = 1 $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: 1. Выражения $\operatorname{tg} 3x$ и $\operatorname{tg} x$ должны быть определены: $$ \cos 3x \neq 0 \implies 3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ \cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ 2. Знаменатель дроби не должен обращаться в ноль: $$ 1 + \operatorname{tg} 3x \operatorname{tg} x \neq 0 $$ Преобразуем выражение в знаменателе: $$ 1 + \operatorname{tg} 3x \operatorname{tg} x = 1 + \frac{\sin 3x \sin x}{\cos 3x \cos x} = \frac{\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x}{\cos 3x \cos x} = \frac{\cos(3x - x)}{\cos 3x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\cos 3x \cos x} $$ Следовательно, знаменатель не равен нулю при условии: $$ \cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi l \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi l}{2}, \quad l \in \mathbb{Z} $$ Используем формулу тангенса разности двух углов: $$ \operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta} $$ Применяя эту формулу для $\alpha = 3x$ и $\beta = x$, перепишем уравнение: $$ \operatorname{tg}(3x - x) = 1 $$ $$ \operatorname{tg} 2x = 1 $$ Решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение: $$ 2x = \operatorname{arctg} 1 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на 2: $$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Проверим принадлежность найденных корней ОДЗ: 1. Проверим условие $x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$: Если $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, то после умножения на $\frac{24}{\pi}$ получим $3 + 12k = 4 + 8n$, откуда $4(3k - 2n) = 1$. Это уравнение не имеет решений в целых числах, так как левая часть кратна 4, а правая — нет. 2. Проверим условие $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$: Если $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m$, то после умножения на $\frac{8}{\pi}$ получим $1 + 4k = 4 + 8m$, откуда $4(k - 2m) = 3$. Данное уравнение также не имеет целых решений. 3. Проверим условие $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi l}{2}$: Если $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi l}{2}$, то после умножения на $\frac{8}{\pi}$ получим $1 + 4k = 2 + 4l$, откуда $4(k - l) = 1$, что невозможно для целых $k$ и $l$. Таким образом, все найденные значения переменной входят в ОДЗ. Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$.