ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 25

25. 5) Решим тригонометрическое уравнение: $$ 2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \operatorname{tg} x = \sqrt{3} $$ Найдем область допустимых значений уравнения. Тангенс и котангенс определены при условии: $$ \begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \neq 0 \end{cases} \iff \cos x \neq 0 \iff x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Используем формулу приведения: $$ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \operatorname{tg} x $$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$ 2\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = \sqrt{3} $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 3\operatorname{tg} x = \sqrt{3} $$ $$ \operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} $$ Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $$ x = \operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Все найденные значения удовлетворяют области допустимых значений. Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.