ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 2 - 23

Решим тригонометрическое уравнение: $$ 3 \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + \sqrt{3} = 0 $$ 1. Перенесём слагаемое $\sqrt{3}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком: $$ 3 \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\sqrt{3} $$ 2. Разделим обе части уравнения на $3$: $$ \operatorname{tg} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$ 3. Используем формулу корней простейшего тригонометрического уравнения $\operatorname{tg} t = a \implies t = \operatorname{arctg}(a) + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$: $$ x + \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$ и $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем: $$ x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 4. Выразим $x$, вычтя $\frac{\pi}{4}$ из обеих частей: $$ x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Приведём дроби к общему знаменателю $12$: $$ x = -\frac{3\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$