ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 2 - 2

1) Вычислим значение выражения $\arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. Преобразуем аргумент, избавившись от иррациональности в знаменателе дроби: $$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Тогда выражение принимает вид: $$ \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$ Используем свойство нечётности функции арксинуса $\arcsin(-x) = -\arcsin x$: $$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$ По определению арксинуса, $\arcsin a$ — это такое число $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, что $\sin \alpha = a$. Так как $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{\pi}{4} \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, получаем: $$ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $$ Следовательно: $$ \arcsin\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4} $$ Ответ: $-\frac{\pi}{4}$