ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 1 - 35

Решим уравнение: $$ 6 (1 - 4\sin x \cos x)(\sin 6x - 1) = 0 $$ Разделим обе части уравнения на $6$: $$ (1 - 4\sin x \cos x)(\sin 6x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$ 1 - 4\sin x \cos x = 0 \quad \text{или} \quad \sin 6x - 1 = 0 $$ 1) Решим первое уравнение: $$ 1 - 4\sin x \cos x = 0 $$ Применим формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$: $$ 1 - 2(2\sin x \cos x) = 0 $$ $$ 1 - 2\sin 2x = 0 $$ $$ \sin 2x = \frac{1}{2} $$ Отсюда получаем: $$ 2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Эту серию решений можно записать в виде двух совокупностей: - при четных $n = 2m$: $x = \frac{\pi}{12} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$; - при нечетных $n = 2m + 1$: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$. 2) Решим второе уравнение: $$ \sin 6x - 1 = 0 $$ $$ \sin 6x = 1 $$ Используем частный случай решения уравнения $\sin t = 1$: $$ 6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на $6$: $$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Заметим, что по формуле синуса тройного угла $\sin 6x = 3\sin 2x - 4\sin^3 2x$. При $\sin 2x = \frac{1}{2}$ значение $\sin 6x = 3 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{1}{8} = 1$. Это означает, что все корни первого уравнения уже содержатся среди корней второго уравнения: - при $k = 3m$: $x = \frac{\pi}{12} + \pi m$; - при $k = 3m + 1$: $x = \frac{5\pi}{12} + \pi m$; - при $k = 3m + 2$: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi m$. Следовательно, объединением всех решений является серия: $$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$