ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 1 - 34

**№ 34** Решим уравнение: $$ (2\sin x + 1)(2 + \sin x) = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$ 2\sin x + 1 = 0 \quad \text{или} \quad 2 + \sin x = 0 $$ Рассмотрим каждый случай: 1) $2\sin x + 1 = 0$ $$ 2\sin x = -1 $$ $$ \sin x = -\frac{1}{2} $$ По формуле корней уравнения $\sin x = a$: $$ x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, получаем: $$ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 2) $2 + \sin x = 0$ $$ \sin x = -2 $$ Так как для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется условие $-1 \le \sin x \le 1$, а $-2 < -1$, данное уравнение не имеет действительных корней. Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.