ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 1 - 33

1. Решим неравенство: $$ x^2 - 4\pi^2 < 0 $$ Разложим левую часть на множители: $$ (x - 2\pi)(x + 2\pi) < 0 $$ Отсюда получаем интервал: $$ -2\pi < x < 2\pi $$ 2. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0,5 $$ Так как $0,5 = \frac{1}{2}$, то уравнение распадается на две серии решений: 1) Первая серия: $$ x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k $$ $$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) Вторая серия: $$ x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ $$ x - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m $$ $$ x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi m $$ $$ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ 3. Отберем корни, удовлетворяющие условию $-2\pi < x < 2\pi$: - Для серии $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$: - при $k = -1$: $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$ (входит, так как $-2\pi < -\frac{3\pi}{2} < 2\pi$); - при $k = 0$: $x = \frac{\pi}{2}$ (входит, так как $-2\pi < \frac{\pi}{2} < 2\pi$); - при $k = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} > 2\pi$ (не входит); - при $k \le -2$: $x \le \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} < -2\pi$ (не входит). - Для серии $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m$: - при $m = -1$: $x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}$ (входит, так как $-2\pi < -\frac{5\pi}{6} < 2\pi$); - при $m = 0$: $x = \frac{7\pi}{6}$ (входит, так как $-2\pi < \frac{7\pi}{6} < 2\pi$); - при $m = 1$: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} > 2\pi$ (не входит); - при $m \le -2$: $x \le \frac{7\pi}{6} - 4\pi = -\frac{17\pi}{6} < -2\pi$ (не входит). Таким образом, условию удовлетворяют значения: $-\frac{3\pi}{2}$, $-\frac{5\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{6}$. Ответ: $-\frac{3\pi}{2}; -\frac{5\pi}{6}; \frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{6}$.