ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 33 / вариант 1 - 30

1. Решим тригонометрическое уравнение: $$ 2 \cos x = -1 $$ $$ \cos x = -\frac{1}{2} $$ По формуле корней уравнения $\cos x = a$: $$ x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$, получаем серию решений: $$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. Решим неравенство: $$ x^2 - \pi^2 < 0 $$ Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $$ (x - \pi)(x + \pi) < 0 $$ Применяя метод интервалов, получаем: $$ x \in (-\pi; \pi), \quad \text{то есть } -\pi < x < \pi $$ 3. Найдем корни уравнения, принадлежащие интервалу $(-\pi; \pi)$. Рассмотрим первую ветвь решений $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$: $$ -\pi < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k < \pi $$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$ -1 < \frac{2}{3} + 2k < 1 $$ $$ -\frac{5}{3} < 2k < \frac{1}{3} $$ $$ -\frac{5}{6} < k < \frac{1}{6} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, единственным целым значением является $k = 0$. При $k = 0$: $$ x = \frac{2\pi}{3} $$ Рассмотрим вторую ветвь решений $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$: $$ -\pi < -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < \pi $$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$ -1 < -\frac{2}{3} + 2k < 1 $$ $$ -\frac{1}{3} < 2k < \frac{5}{3} $$ $$ -\frac{1}{6} < k < \frac{5}{6} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, единственным целым значением является $k = 0$. При $k = 0$: $$ x = -\frac{2\pi}{3} $$ Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3}$.