ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 33 / вариант 1 - 29

1. Найдем общее решение тригонометрического уравнения: $$ \cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ По формуле корней уравнения $\cos t = a$: $$ 4x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, получаем: $$ 4x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части равенства на $4$: $$ x = \pm \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. Найдем корни, принадлежащие отрезку $[0; \pi]$. Разобьем общее решение на две серии и отберем корни с помощью двойных неравенств: * Первая серия: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}$ $$ 0 \le \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2} \le \pi $$ Умножим все части неравенства на $\frac{16}{\pi}$: $$ 0 \le 1 + 8k \le 16 $$ $$ -1 \le 8k \le 15 $$ $$ -\frac{1}{8} \le k \le \frac{15}{8} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, подходят значения $k = 0$ и $k = 1$: - при $k = 0$: $x_1 = \frac{\pi}{16}$; - при $k = 1$: $x_2 = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 8\pi}{16} = \frac{9\pi}{16}$. * Вторая серия: $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}$ $$ 0 \le -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2} \le \pi $$ Умножим все части неравенства на $\frac{16}{\pi}$: $$ 0 \le -1 + 8k \le 16 $$ $$ 1 \le 8k \le 17 $$ $$ \frac{1}{8} \le k \le \frac{17}{8} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, подходят значения $k = 1$ и $k = 2$: - при $k = 1$: $x_3 = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi}{2} = \frac{-\pi + 8\pi}{16} = \frac{7\pi}{16}$; - при $k = 2$: $x_4 = -\frac{\pi}{16} + \pi = \frac{-\pi + 16\pi}{16} = \frac{15\pi}{16}$. Ответ: $\frac{\pi}{16}$, $\frac{7\pi}{16}$, $\frac{9\pi}{16}$, $\frac{15\pi}{16}$.