ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 33 / вариант 1 - 28

28. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ По формуле корней уравнения $\cos t = a$: $$ \frac{x}{2} = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, получаем: $$ \frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Умножим обе части уравнения на $2$: $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Отберём корни, принадлежащие отрезку $[-4\pi; 4\pi]$. Для этого рассмотрим две серии решений при целых значениях $k$: 1) Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$: - при $k = -1$: $x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}$ — входит в отрезок, так как $-4\pi \le -\frac{11\pi}{3} \le 4\pi$; - при $k = 0$: $x = \frac{\pi}{3}$ — входит в отрезок, так как $-4\pi \le \frac{\pi}{3} \le 4\pi$; - при $k = 1$: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} > 4\pi$ — не входит в отрезок. 2) Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k$: - при $k = -1$: $x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3} < -4\pi$ — не входит в отрезок; - при $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{3}$ — входит в отрезок, так как $-4\pi \le -\frac{\pi}{3} \le 4\pi$; - при $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$ — входит в отрезок, так как $-4\pi \le \frac{11\pi}{3} \le 4\pi$. При остальных значениях $k$ корни выходят за пределы отрезка $[-4\pi; 4\pi]$. Ответ: $-\frac{11\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{11\pi}{3}$.