ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 33 / вариант 1 - 32

$32.$ $6)$ Решим уравнение: $$ \cos 2x \left(2\cos x + \sqrt{2}\right) = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл: $$ \left[ \begin{aligned} & \cos 2x = 0, \\ & 2\cos x + \sqrt{2} = 0. \end{aligned} \right. $$ Решим каждое уравнение отдельно. 1) $\cos 2x = 0$ $$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $2\cos x + \sqrt{2} = 0$ $$ 2\cos x = -\sqrt{2} $$ $$ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Заметим, что корни второй серии $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ полностью содержатся в первой серии $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$ (при $k = 1 + 4n$ получаем $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, а при $k = -2 + 4n$ получаем $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$). Таким образом, объединением решений является серия корней первого уравнения. Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$.