ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 29 / вариант 2 - 20

**1. Вывод формулы для $\cos 3\alpha$:** Представим аргумент $3\alpha$ в виде суммы $2\alpha + \alpha$ и применим формулу косинуса суммы: $$ \cos 3\alpha = \cos(2\alpha + \alpha) = \cos 2\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha \sin \alpha $$ Используем формулы двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ и $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$: $$ \cos 3\alpha = (2\cos^2 \alpha - 1)\cos \alpha - (2\sin \alpha \cos \alpha)\sin \alpha $$ Раскроем скобки: $$ \cos 3\alpha = 2\cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2\sin^2 \alpha \cos \alpha $$ Заменим $\sin^2 \alpha$ по основному тригонометрическому тождеству на $1 - \cos^2 \alpha$: $$ \cos 3\alpha = 2\cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2(1 - \cos^2 \alpha)\cos \alpha $$ $$ \cos 3\alpha = 2\cos^3 \alpha - \cos \alpha - 2\cos \alpha + 2\cos^3 \alpha $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha $$ Формула выведена. --- **2. Вычисление $\cos 3\alpha$:** По условию $\sin \alpha = 0,8$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (угол $\alpha$ лежит во II четверти). Во II четверти косинус принимает отрицательные значения, поэтому: $$ \cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $$ $$ \cos \alpha = -\sqrt{1 - 0,8^2} = -\sqrt{1 - 0,64} = -\sqrt{0,36} = -0,6 $$ Подставим полученное значение $\cos \alpha = -0,6$ в выведенную формулу: $$ \cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha = \cos \alpha (4\cos^2 \alpha - 3) $$ $$ \cos 3\alpha = -0,6 \cdot (4 \cdot (-0,6)^2 - 3) $$ $$ \cos 3\alpha = -0,6 \cdot (4 \cdot 0,36 - 3) = -0,6 \cdot (1,44 - 3) = -0,6 \cdot (-1,56) = 0,936 $$ Ответ: $0,936$