ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 2 - 23

23. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \cos 5x \cos 3x \cos x = -\sin 5x \sin 3x \cos x $$ Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения: $$ \cos 5x \cos 3x \cos x + \sin 5x \sin 3x \cos x = 0 $$ Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $$ \cos x (\cos 5x \cos 3x + \sin 5x \sin 3x) = 0 $$ Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ к выражению в скобках: $$ \cos 5x \cos 3x + \sin 5x \sin 3x = \cos(5x - 3x) = \cos 2x $$ Уравнение принимает вид: $$ \cos x \cos 2x = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: 1) $\cos x = 0$ $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) $\cos 2x = 0$ $$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.