ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 2 - 22

22.6. Решим тригонометрическое уравнение: $$ 2\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sqrt{2}\sin x=-\sqrt{2} $$ Используем формулу синуса разности аргументов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$. Распишем первое слагаемое: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos x - \cos\frac{\pi}{4}\sin x $$ Так как $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $$ \sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x $$ Подставим полученное выражение в исходное уравнение: $$ 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right) + \sqrt{2}\sin x = -\sqrt{2} $$ Раскроем скобки: $$ \sqrt{2}\cos x - \sqrt{2}\sin x + \sqrt{2}\sin x = -\sqrt{2} $$ Приведем подобные слагаемые: $$ \sqrt{2}\cos x = -\sqrt{2} $$ Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$: $$ \cos x = -1 $$ Решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение: $$ x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$.