ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 26 / вариант 2 - 6

Докажем тождество: $$ \frac{\cos^{4}\alpha + \sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha} = \frac{1}{\sin^{2}\alpha} - 1 $$ Преобразуем левую часть тождества: 1. В числителе вынесем общий множитель $\cos^2 \alpha$ за скобки: $$ \cos^{4}\alpha + \sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha = \cos^{2}\alpha (\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha) $$ 2. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \cos^{2}\alpha (\cos^{2}\alpha + \sin^{2}\alpha) = \cos^{2}\alpha \cdot 1 = \cos^{2}\alpha $$ Тогда левая часть принимает вид: $$ \frac{\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha} $$ 3. Выразим $\cos^2 \alpha$ через основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$: $$ \frac{\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha} = \frac{1 - \sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha} $$ 4. Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель (почленно): $$ \frac{1 - \sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha} = \frac{1}{\sin^{2}\alpha} - \frac{\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha} = \frac{1}{\sin^{2}\alpha} - 1 $$ Получили выражение, совпадающее с правой частью тождества: $$ \frac{1}{\sin^{2}\alpha} - 1 = \frac{1}{\sin^{2}\alpha} - 1 $$ Тождество доказано.