ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 26 / вариант 2 - 5

Докажем тождество: $$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cot \alpha - \tan \alpha} = \sin \alpha \cos \alpha $$ Для доказательства преобразуем левую часть равенства при всех допустимых значениях переменной $\alpha$ (где $\sin \alpha \neq 0$, $\cos \alpha \neq 0$ и $\cos^2 \alpha \neq \sin^2 \alpha$). 1. Выразим котангенс и тангенс через косинус и синус: $$ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ 2. Преобразуем знаменатель левой части, приведя дроби к общему знаменателю: $$ \cot \alpha - \tan \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ 3. Подставим полученное выражение для знаменателя в исходную дробь: $$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cot \alpha - \tan \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}} $$ 4. Заменим деление умножением на взаимно обратную дробь и сократим на общий множитель $(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$: $$ (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \sin \alpha \cos \alpha $$ Левая часть тождества равна правой части: $$ \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha \cos \alpha $$ Тождество доказано.