ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 26 / вариант 2 - 9

Преобразуем искомое выражение, применив формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha $$ Разложим полученную разность квадратов на множители: $$ \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin \alpha - \cos \alpha) $$ Значение суммы нам известно: $\sin \alpha + \cos \alpha = 0,8$. Найдем значение разности $(\sin \alpha - \cos \alpha)$. 1. Возведем обе части равенства $\sin \alpha + \cos \alpha = 0,8$ в квадрат: $$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 0,8^2 $$ $$ \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 0,64 $$ Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$ 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = 0,64 $$ $$ 2\sin \alpha \cos \alpha = 0,64 - 1 = -0,36 $$ 2. Рассмотрим квадрат разности $(\sin \alpha - \cos \alpha)^2$: $$ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha $$ Подставим найденное значение $2\sin \alpha \cos \alpha = -0,36$: $$ (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = 1 - (-0,36) = 1,36 $$ Отсюда: $$ \sin \alpha - \cos \alpha = \pm \sqrt{1,36} = \pm \sqrt{\frac{136}{100}} = \pm \frac{2\sqrt{34}}{10} = \pm \frac{\sqrt{34}}{5} $$ 3. Вычислим значение искомого выражения: $$ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin \alpha - \cos \alpha) = 0,8 \cdot (\pm \sqrt{1,36}) = \pm 0,8\sqrt{1,36} $$ В виде обыкновенной дроби: $$ \frac{4}{5} \cdot \left(\pm \frac{\sqrt{34}}{5}\right) = \pm \frac{4\sqrt{34}}{25} $$ Ответ: $\pm 0,8\sqrt{1,36}$ (или $\pm \frac{4\sqrt{34}}{25}$).