ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 26 / вариант 2 - 3

3. Докажем тождество: $$ \frac{1}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha} $$ Преобразуем правую часть равенства: 1. Разложим знаменатель дроби по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 - (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) $$ 2. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot 1 = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha $$ 3. Еще раз применим формулу разности квадратов к выражению $\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$: $$ \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = (\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha) $$ 4. Подставим полученное разложение знаменателя в правую часть исходного равенства и сократим дробь на общий множитель $(\sin \alpha + \cos \alpha)$: $$ \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)} = \frac{1}{\sin \alpha - \cos \alpha} $$ Получили выражение, совпадающее с левой частью равенства: $$ \frac{1}{\sin \alpha - \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha - \cos \alpha} $$ Тождество доказано.