ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 26 / вариант 2 - 7

**6.** Докажем тождество: $$ \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} = -2 \operatorname{tg} \alpha \quad \text{при} \quad 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $$ Преобразуем левую часть равенства. Так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $0 < \sin \alpha < 1$, следовательно, подкоренные выражения положительны: $1 - \sin \alpha > 0$ и $1 + \sin \alpha > 0$. Представим каждый корень в виде отношения корней и приведем дроби к общему знаменателю: $$ \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} = \frac{\sqrt{1 - \sin \alpha}}{\sqrt{1 + \sin \alpha}} - \frac{\sqrt{1 + \sin \alpha}}{\sqrt{1 - \sin \alpha}} $$ $$ = \frac{\left(\sqrt{1 - \sin \alpha}\right)^2 - \left(\sqrt{1 + \sin \alpha}\right)^2}{\sqrt{1 + \sin \alpha} \cdot \sqrt{1 - \sin \alpha}} = \frac{(1 - \sin \alpha) - (1 + \sin \alpha)}{\sqrt{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}} $$ Упростим числитель и знаменатель, применив формулу разности квадратов $(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha$: $$ = \frac{1 - \sin \alpha - 1 - \sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} = \frac{-2 \sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} $$ Используя основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$, получаем: $$ = \frac{-2 \sin \alpha}{\sqrt{\cos^2 \alpha}} = \frac{-2 \sin \alpha}{|\cos \alpha|} $$ Так как угол $\alpha$ принадлежит первой четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), косинус положителен ($\cos \alpha > 0$), поэтому $|\cos \alpha| = \cos \alpha$: $$ \frac{-2 \sin \alpha}{\cos \alpha} = -2 \operatorname{tg} \alpha $$ Левая часть тождества равна правой части, следовательно, тождество доказано.