ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 2 - 3

1. Определим четверть, в которой находится угол $\alpha$. Так как $8\pi = 4 \cdot 2\pi$, то: $$ 8\pi < \alpha < 8\pi + \frac{\pi}{2} $$ Следовательно, угол $\alpha$ лежит в I координатной четверти, где синус и косинус принимают положительные значения: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha > 0$. 2. Найдём $\sin \alpha$, используя тождество $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \dfrac{1}{\sin^2 \alpha}$: $$ 1 + \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ 1 + \frac{5}{4} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $$ $$ \frac{9}{4} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \implies \sin^2 \alpha = \frac{4}{9} $$ Так как угол $\alpha$ находится в I четверти, выбираем положительное значение: $$ \sin \alpha = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} $$ 3. Вычислим значение выражения $5 \sin \alpha$: $$ 5 \sin \alpha = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} $$ 4. Найдём $\cos \alpha$, используя связь котангенса, синуса и косинуса ($\cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha$): $$ \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3} $$ Ответ: $5 \sin \alpha = \dfrac{10}{3}$, $\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.