ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 2 - 4

По условию задан угол $\alpha$, для которого: $$ 3\pi < \alpha < \frac{7\pi}{2} $$ Так как $3\pi = 2\pi + \pi$, а $\frac{7\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{2}$, угол $\alpha$ оканчивается в III координатной четверти. В третьей четверти синус и косинус принимают отрицательные значения: $\sin \alpha < 0$ и $\cos \alpha < 0$. 1. Найдём $\cos \alpha$. Воспользуемся формулой, связывающей тангенс и косинус: $$ 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ Подставим значение $\operatorname{tg} \alpha = \frac{3}{4}$: $$ 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ $$ 1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $$ $$ \frac{25}{16} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} $$ Так как угол $\alpha$ лежит в III четверти, косинус отрицателен: $$ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} = -0{,}8 $$ 2. Найдём $\sin \alpha$ и значение выражения $5 \sin \alpha$. Используем определение тангенса $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: $$ \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha $$ $$ \sin \alpha = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3}{5} = -0{,}6 $$ Вычислим $5 \sin \alpha$: $$ 5 \sin \alpha = 5 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -3 $$ Ответ: $5 \sin \alpha = -3$ (при этом $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$); $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.