ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 2 - 2

Дано: $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{4}$, $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Найти: $\sin \alpha$, $\tan \alpha$. 1. Найдем $\sin \alpha$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $$ Отсюда: $$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $$ Подставим известное значение $\cos \alpha$: $$ \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16} $$ По условию угол $\alpha$ принадлежит второй четверти: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Значения синуса во второй четверти положительны ($\sin \alpha > 0$), следовательно: $$ \sin \alpha = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4} $$ 2. Найдем $\tan \alpha$. По определению тангенса: $$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Подставим найденное значение синуса и заданное значение косинуса: $$ \tan \alpha = \frac{\frac{\sqrt{11}}{4}}{-\frac{\sqrt{5}}{4}} = -\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{5}} $$ Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$: $$ \tan \alpha = -\frac{\sqrt{11} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{55}}{5} $$ Ответ: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{11}}{4}$, $\tan \alpha = -\frac{\sqrt{55}}{5}$.