ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 2 - 6

6. 3) Выясним, могут ли одновременно выполняться равенства $\cos\alpha = \frac{3}{4}$ и $\tg\alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$. Воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим косинус и тангенс одного и того же угла: $$ 1 + \tg^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $$ Подставим заданные значения в левую и правую части тождества: 1. Левая часть: $$ 1 + \tg^2\alpha = 1 + \left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)^2 = 1 + \frac{7}{9} = \frac{16}{9} $$ 2. Правая часть: $$ \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{1}{\frac{9}{16}} = \frac{16}{9} $$ Значения левой и правой частей совпадают: $\frac{16}{9} = \frac{16}{9}$. Проверим знаки функций: Так как $\cos\alpha = \frac{3}{4} > 0$ и $\tg\alpha = \frac{\sqrt{7}}{3} > 0$, угол $\alpha$ может находиться в I координатной четверти, где косинус и тангенс одновременно положительны. При этом: $$ \sin\alpha = \tg\alpha \cdot \cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{\sqrt{7}}{4} $$ Значение $\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4} > 0$ также согласуется с I четвертью и удовлетворяет равенству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{7}{16} + \frac{9}{16} = 1$. Таким образом, равенства могут выполняться одновременно. Ответ: да, могут.