ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 2 - 15

Упростим данное выражение: $$6 \operatorname{tg} \alpha + \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{(1 + \sin \alpha \cos \alpha) \cdot \cos \alpha}$$ 1. Преобразуем числитель дроби, применив формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$: $$\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha)$$ Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$\cos^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha = 1 + \sin \alpha \cos \alpha$$ Следовательно: $$\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)$$ 2. Подставим разложение в дробь и сократим её на общий множитель $(1 + \sin \alpha \cos \alpha) \neq 0$: $$\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{(1 + \sin \alpha \cos \alpha) \cdot \cos \alpha} = \frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha}$$ 3. Разделим почленно числитель полученной дроби на знаменатель: $$\frac{\cos \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 1 - \operatorname{tg} \alpha$$ 4. Подставим упрощенную дробь в исходное выражение и приведем подобные слагаемые: $$6 \operatorname{tg} \alpha + (1 - \operatorname{tg} \alpha) = 1 + 5 \operatorname{tg} \alpha$$ *(Примечание: если цифра $6$ в условии обозначает номер подпункта $6)$, то есть выражение имеет вид $\operatorname{tg} \alpha + \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{(1 + \sin \alpha \cos \alpha) \cdot \cos \alpha}$, то в результате сложения получаем $\operatorname{tg} \alpha + 1 - \operatorname{tg} \alpha = 1$)*. Ответ: $1 + 5 \operatorname{tg} \alpha$ (или $1$, если $6$ — номер пункта).