ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 2 - 16

В условии задачи в знаменателе содержится опечатка записи: дробь имеет стандартный вид $\frac{3\sin\alpha + 5\cos\alpha}{6\sin\alpha - 2\cos\alpha}$ (при наличии выражения $1 - 2\cos\alpha$ значение дроби невозможно определить однозначно, зная только котангенс). Так как $\operatorname{ctg}\alpha = -\frac{2}{5}$, то $\sin\alpha \neq 0$. Разделим каждое слагаемое числителя и знаменателя на $\sin\alpha$: $$ \frac{3\sin\alpha + 5\cos\alpha}{6\sin\alpha - 2\cos\alpha} = \frac{\frac{3\sin\alpha}{\sin\alpha} + \frac{5\cos\alpha}{\sin\alpha}}{\frac{6\sin\alpha}{\sin\alpha} - \frac{2\cos\alpha}{\sin\alpha}} $$ Учитывая, что $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \operatorname{ctg}\alpha$, получаем: $$ \frac{3 + 5\operatorname{ctg}\alpha}{6 - 2\operatorname{ctg}\alpha} $$ Подставим данное по условию значение $\operatorname{ctg}\alpha = -\frac{2}{5}$: $$ \frac{3 + 5 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)}{6 - 2 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)} = \frac{3 - 2}{6 + \frac{4}{5}} = \frac{1}{\frac{34}{5}} = \frac{5}{34} $$ Ответ: $\frac{5}{34}$