ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 25 / вариант 2 - 14

Упростим выражение: $$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - 1}{\left(\sin \alpha + \cos \alpha\right)^2 - 1} $$ 1. Преобразуем числитель дроби. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, выразим $\cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha$: $$ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - 1 = (\cos^2 \alpha - 1) - \sin^2 \alpha = -\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha = -2\sin^2 \alpha $$ 2. Преобразуем знаменатель дроби. Раскроем квадрат суммы по формуле сокращенного умножения: $$ (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 1 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha - 1 $$ Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$ (1 + 2\sin \alpha \cos \alpha) - 1 = 2\sin \alpha \cos \alpha $$ 3. Подставим полученные выражения в исходную дробь и сократим её: $$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha - 1}{\left(\sin \alpha + \cos \alpha\right)^2 - 1} = \frac{-2\sin^2 \alpha}{2\sin \alpha \cos \alpha} = -\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\operatorname{tg} \alpha $$ Ответ: $-\operatorname{tg} \alpha$