ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 24 / вариант 2 - 12

Для вычисления значений тригонометрических функций угла $\alpha = \frac{11\pi}{12}$ воспользуемся формулами половинного угла. Определим четверть, в которой лежит угол $\alpha$: Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{11\pi}{12} < \pi$, угол $\alpha$ принадлежит II координатной четверти. Следовательно: $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$, $\operatorname{tg} \alpha < 0$, $\operatorname{ctg} \alpha < 0$. Удвоенный угол равен: $$ 2\alpha = 2 \cdot \frac{11\pi}{12} = \frac{11\pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6} $$ Найдем значения косинуса и синуса угла $2\alpha$: $$ \cos 2\alpha = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \sin 2\alpha = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} $$ **1. Вычисление $\sin \alpha$:** Используем формулу половинного угла $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. С учетом того, что во II четверти синус положителен: $$ \sin\frac{11\pi}{12} = \sqrt{\frac{1 - \cos\frac{11\pi}{6}}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} $$ Преобразуем подкоренное выражение: $2 - \sqrt{3} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2}$. Тогда: $$ \sin\frac{11\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$ **2. Вычисление $\cos \alpha$:** Используем формулу половинного угла $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$. С учетом того, что во II четверти косинус отрицателен: $$ \cos\frac{11\pi}{12} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\frac{11\pi}{6}}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = -\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = -\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} $$ Преобразуем подкоренное выражение: $2 + \sqrt{3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}$. Тогда: $$ \cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$ **3. Вычисление $\operatorname{tg} \alpha$:** Используем формулу $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$: $$ \operatorname{tg}\frac{11\pi}{12} = \frac{-\frac{1}{2}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{-1}{2 + \sqrt{3}} = -\frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = -(2 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 2 $$ **4. Вычисление $\operatorname{ctg} \alpha$:** $$ \operatorname{ctg}\frac{11\pi}{12} = \frac{1}{\operatorname{tg}\frac{11\pi}{12}} = \frac{1}{\sqrt{3} - 2} = \frac{\sqrt{3} + 2}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} = \frac{\sqrt{3} + 2}{3 - 4} = -2 - \sqrt{3} $$ **Ответ:** $$ \sin\frac{11\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, \quad \cos\frac{11\pi}{12} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, \quad \operatorname{tg}\frac{11\pi}{12} = \sqrt{3} - 2, \quad \operatorname{ctg}\frac{11\pi}{12} = -2 - \sqrt{3} $$