ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 24 / вариант 1 - 23

23. Вычислим значение выражения: $$ 4 \cos \frac{5\pi}{8} \cos\left(-\frac{3\pi}{8}\right) $$ 1. Используем свойство четности косинуса $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$: $$ \cos\left(-\frac{3\pi}{8}\right) = \cos \frac{3\pi}{8} $$ Тогда выражение принимает вид: $$ 4 \cos \frac{5\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8} $$ 2. Применим формулу преобразования произведения косинусов в сумму $2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$: $$ 4 \cos \frac{5\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8} = 2 \cdot \left(2 \cos \frac{5\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8}\right) = 2 \left(\cos\left(\frac{5\pi}{8} + \frac{3\pi}{8}\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}\right)\right) $$ 3. Выполним действия с аргументами: $$ \frac{5\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} = \frac{8\pi}{8} = \pi $$ $$ \frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $$ Получаем: $$ 2 \left(\cos \pi + \cos \frac{\pi}{4}\right) $$ 4. Подставим табличные значения $\cos \pi = -1$ и $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $$ 2 \left(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -2 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 2 $$ Ответ: $\sqrt{2} - 2$