ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 23 / вариант 1 - 10

10. По определению синуса, ордината точки $P_\alpha$, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$, равна $\sin \alpha$. По условию требуется найти все углы $\alpha \in [-2\pi; 2\pi]$, для которых: $$ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ На единичной окружности значению ординаты $\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют две точки, лежащие в I и II четвертях. Все углы поворота задаются совокупностью двух серий решений: $$ \left[ \begin{gathered} \alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \\ \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{gathered} \right. $$ Отберем значения $\alpha$, принадлежащие заданному промежутку $[-2\pi; 2\pi]$: 1. Для серии $\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: - при $k = -1$: $\alpha = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \in [-2\pi; 2\pi]$; - при $k = 0$: $\alpha = \frac{\pi}{3} \in [-2\pi; 2\pi]$; - при $k = 1$: $\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} > 2\pi$ (не входит в промежуток); - при $k \leqslant -2$ и $k \geqslant 1$ полученные значения лежат вне отрезка $[-2\pi; 2\pi]$. 2. Для серии $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$: - при $k = -1$: $\alpha = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \in [-2\pi; 2\pi]$; - при $k = 0$: $\alpha = \frac{2\pi}{3} \in [-2\pi; 2\pi]$; - при $k = 1$: $\alpha = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} > 2\pi$ (не входит в промежуток); - при $k \leqslant -2$ и $k \geqslant 1$ полученные значения лежат вне отрезка $[-2\pi; 2\pi]$. Запишем все найденные углы в порядке возрастания: $-\frac{5\pi}{3}$, $-\frac{4\pi}{3}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$. Ответ: $-\frac{5\pi}{3}; -\frac{4\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}$.