ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / уравнения и неравенства / вариант 2 - 14

6) Решим неравенство: $$ |3 - 4x| < |x + 3| $$ Так как обе части неравенства неотрицательны при любых значениях переменной, возведем обе части в квадрат: $$ (3 - 4x)^2 < (x + 3)^2 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства: $$ (3 - 4x)^2 - (x + 3)^2 < 0 $$ Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ ((3 - 4x) - (x + 3))((3 - 4x) + (x + 3)) < 0 $$ Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые: $$ (3 - 4x - x - 3)(3 - 4x + x + 3) < 0 $$ $$ -5x(6 - 3x) < 0 $$ Вынесем общий множитель $-3$ из второй скобки: $$ -5x \cdot (-3)(x - 2) < 0 $$ $$ 15x(x - 2) < 0 $$ Разделим обе части неравенства на $15$: $$ x(x - 2) < 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Нули функции $f(x) = x(x - 2)$: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. 2. Отметим полученные точки на числовой прямой выколотыми точками. Они разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$. 3. Определим знаки выражения на каждом интервале: - при $x > 2$: знак «$+$»; - при $0 < x < 2$: знак «$-$»; - при $x < 0$: знак «$+$». Выбираем промежуток, на котором выражение принимает отрицательные значения: $$ x \in (0; 2) $$ Ответ: $(0; 2)$.