ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / подготовка к экзамену - 1

4. Упростим выражение: $$ \frac{x + 1}{x^3 + x^2 + x} : \frac{1}{x^4 - x} - x^2 $$ Выполним действия по порядку: сначала деление дробей, затем вычитание. 1) Выполним деление: $$ \frac{x + 1}{x^3 + x^2 + x} : \frac{1}{x^4 - x} $$ Разложим знаменатель первой дроби на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $$ x^3 + x^2 + x = x(x^2 + x + 1) $$ Разложим выражение $x^4 - x$ на множители, применив формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$: $$ x^4 - x = x(x^3 - 1) = x(x - 1)(x^2 + x + 1) $$ Заменим деление на дробь умножением на обратную дробь: $$ \frac{x + 1}{x(x^2 + x + 1)} \cdot \frac{x(x - 1)(x^2 + x + 1)}{1} $$ Сократим дробь на общий множитель $x(x^2 + x + 1)$: $$ (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 $$ 2) Выполним вычитание: $$ (x^2 - 1) - x^2 = -1 $$ Ответ: $-1$