ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / уравнения и неравенства / вариант 2 - 16

16. Решим неравенство: $$ \frac{|x+4|}{|x+6|-2} \geq 1 $$ 1. **Область допустимых значений (ОДЗ):** Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $$ |x+6| - 2 \neq 0 \iff |x+6| \neq 2 $$ $$ \begin{cases} x + 6 \neq 2 \\ x + 6 \neq -2 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq -4 \\ x \neq -8 \end{cases} $$ 2. **Анализ знака числителя и знаменателя:** При всех допустимых $x$ числитель дроби $|x+4| \geq 0$, а с учетом $x \neq -4$ получаем, что $|x+4| > 0$. Так как вся дробь должна быть больше или равна $1$ (то есть строго положительна), а числитель положителен, знаменатель также обязан быть строго больше нуля: $$ |x+6| - 2 > 0 \iff |x+6| > 2 $$ Решим это неравенство: $$ \left[ \begin{aligned} & x + 6 > 2 \\ & x + 6 < -2 \end{aligned} \right. \iff \left[ \begin{aligned} & x > -4 \\ & x < -8 \end{aligned} \right. $$ Таким образом, выражение имеет смысл и может удовлетворять неравенству только при $x \in (-\infty; -8) \cup (-4; +\infty)$. 3. **Решение неравенства:** Поскольку знаменатель $|x+6| - 2 > 0$ на всей рассматриваемой области, умножим обе части исходного неравенства на него с сохранением знака неравенства: $$ |x+4| \geq |x+6| - 2 $$ Рассмотрим два возможных случая в соответствии с найденными промежутками: * **Случай 1:** $x \in (-4; +\infty)$. В этом случае подмодульные выражения положительны: $x + 4 > 0 \implies |x+4| = x + 4$, $x + 6 > 2 > 0 \implies |x+6| = x + 6$. Подставим раскрытые модули в неравенство: $$ x + 4 \geq (x + 6) - 2 $$ $$ x + 4 \geq x + 4 $$ $$ 0 \geq 0 $$ Неравенство верно при всех $x$ из рассматриваемого промежутка. Значит, все $x \in (-4; +\infty)$ являются решениями. * **Случай 2:** $x \in (-\infty; -8)$. В этом случае подмодульные выражения отрицательны: $x + 4 < -4 < 0 \implies |x+4| = -(x + 4) = -x - 4$, $x + 6 < -2 < 0 \implies |x+6| = -(x + 6) = -x - 6$. Подставим раскрытые модули в неравенство: $$ -x - 4 \geq (-x - 6) - 2 $$ $$ -x - 4 \geq -x - 8 $$ $$ -4 \geq -8 $$ Неравенство также верно при всех $x$ из рассматриваемого промежутка. Значит, все $x \in (-\infty; -8)$ являются решениями. 4. **Объединение решений:** $$ x \in (-\infty; -8) \cup (-4; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -8) \cup (-4; +\infty)$.