ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень повторение курса алгебры 7-9 классов / уравнения и неравенства / вариант 2 - 15

**15.** **6)** Решим неравенство: $$ |3x - 5| > |5 + x| $$ Так как обе части неравенства неотрицательны при любых действительных значениях $x$, возведём обе части в квадрат: $$ (3x - 5)^2 > (5 + x)^2 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства: $$ (3x - 5)^2 - (x + 5)^2 > 0 $$ Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ ((3x - 5) - (x + 5))((3x - 5) + (x + 5)) > 0 $$ $$ (3x - 5 - x - 5)(3x - 5 + x + 5) > 0 $$ $$ (2x - 10)(4x) > 0 $$ Вынесем общий множитель $2$ из первой скобки: $$ 2(x - 5) \cdot 4x > 0 $$ $$ 8x(x - 5) > 0 $$ Разделим обе части неравенства на $8$: $$ x(x - 5) > 0 $$ Применим метод интервалов: 1. Корни множителей левой части: $x = 0$ и $x = 5$. 2. На числовой прямой эти точки разбивают область определения на три промежутка: $(-\infty; 0)$, $(0; 5)$ и $(5; +\infty)$. 3. Определим знаки выражения $x(x - 5)$ на каждом из интервалов: - при $x \in (-\infty; 0)$ выражение принимает положительные значения ($+$); - при $x \in (0; 5)$ выражение принимает отрицательные значения ($-$; - при $x \in (5; +\infty)$ выражение принимает положительные значения ($+$). Так как знак неравенства строго больше нуля, решением является объединение интервалов со знаком «плюс». Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (5; +\infty)$.