ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 22 / вариант 2 - 3

В дидактических материалах к § 22 («Поворот точки вокруг начала координат») задание № 3 формулируется следующим образом: «Изобразить на единичной окружности точки, получаемые при повороте точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha$». Рассмотрим пункт 4 данного номера: $$ \alpha = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} k, \quad k \in \mathbb{Z}. $$ ### Решение: 1. **Определение количества различных точек на окружности:** Период слагаемого равен $\frac{2\pi}{3}$ (или $120^\circ$). Полный оборот окружности составляет $2\pi$. Выясним, через сколько шагов значения начнут повторяться на единичной окружности: $$ \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{3}} = 2\pi \cdot \frac{3}{2\pi} = 3. $$ Следовательно, формула задает ровно $3$ различные точки на единичной окружности, которые соответствуют значениям $k = 0, 1, 2$. При дальнейших значениях $k$ точки циклически повторяются со смещением на целое число полных оборотов $2\pi$. --- 2. **Нахождение положений точек при последовательных значениях $k$:** * **При $k = 0$:** $$ \alpha_1 = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} \cdot 0 = \frac{5\pi}{6} = 150^\circ. $$ Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во II координатной четверти. Координаты соответствующей точки $M_1$: $$ \left(\cos \frac{5\pi}{6}; \sin \frac{5\pi}{6}\right) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right). $$ * **При $k = 1$:** $$ \alpha_2 = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} \cdot 1 = \frac{5\pi + 4\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} = 270^\circ. $$ Точка $M_2$ лежит на отрицательной полуоси ординат (ось $Oy$). Координаты точки $M_2$: $$ \left(\cos \frac{3\pi}{2}; \sin \frac{3\pi}{2}\right) = (0; -1). $$ * **При $k = 2$:** $$ \alpha_3 = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} \cdot 2 = \frac{5\pi + 8\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}. $$ Так как поворот на $2\pi$ означает полный оборот, угол $\frac{13\pi}{6}$ совпадает с положением угла $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$, расположенного в I координатной четверти. Координаты точки $M_3$: $$ \left(\cos \frac{\pi}{6}; \sin \frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right). $$ * При $k = 3$: $\alpha = \frac{5\pi}{6} + 2\pi$, происходит возврат в точку $M_1$. --- 3. **Геометрическое описание на единичной окружности:** Полученные три точки $M_1\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$, $M_2(0; -1)$ и $M_3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$ делят единичную окружность на три равные дуги по $120^\circ$ и являются вершинами правильного (равностороннего) треугольника. --- *Примечание:* Если условие задания предполагало решение уравнения относительно $\alpha$: $$ 4\alpha = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} k, \quad k \in \mathbb{Z}, $$ то разделив обе части равенства на $4$, получаем: $$ \alpha = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{6} k, \quad k \in \mathbb{Z}. $$ **Ответ:** Формула задает на единичной окружности три точки, соответствующие углам $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{3\pi}{2}$ (вершины правильного треугольника с координатами $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$, $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$ и $(0; -1)$).