ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 22 / вариант 2 - 1

Поворот точки $P(1; 0)$ на положительный угол осуществляется по единичной окружности против часовой стрелки от положительного направления оси $Ox$. 1. Для угла $\alpha = \frac{\pi}{8}$: Переведем значение угла из радиан в градусы: $$ \alpha = \frac{180^\circ}{8} = 22{,}5^\circ $$ Так как $0 < 22{,}5^\circ < 90^\circ$ $\left(0 < \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2}\right)$, полученная точка лежит в I координатной четверти. Геометрически этот угол составляет ровно половину угла $\frac{\pi}{4}$ ($45^\circ$), то есть луч делит дугу от оси $Ox$ до биссектрисы первого координатного угла пополам. 2. Для угла $\alpha = \frac{2\pi}{3}$: Переведем значение угла из радиан в градусы: $$ \alpha = \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 120^\circ $$ Так как $90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$ $\left(\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi\right)$, полученная точка лежит во II координатной четверти. Угол можно представить в виде: $$ \alpha = 90^\circ + 30^\circ = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} $$ или $$ \alpha = 180^\circ - 60^\circ = \pi - \frac{\pi}{3} $$ Точка откладывается от положительного направления оси $Oy$ на $30^\circ$ против часовой стрелки (или на $60^\circ$ по часовой стрелке от отрицательного направления оси $Ox$). **Схема построения на единичной окружности:** 1. Построить прямоугольную систему координат $xOy$ и единичную окружность с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом $R = 1$. 2. Отметить начальную точку $P(1; 0)$ на оси $Ox$. 3. Отложить против часовой стрелки угол $22{,}5^\circ$ и отметить на окружности точку $P_{\frac{\pi}{8}}$ (I четверть). 4. Отложить против часовой стрелки угол $120^\circ$ и отметить на окружности точку $P_{\frac{2\pi}{3}}$ (II четверть). Ответ: точка $P_{\frac{\pi}{8}}$ лежит в I четверти ($22{,}5^\circ$ от оси $Ox$), точка $P_{\frac{2\pi}{3}}$ лежит во II четверти ($120^\circ$ от оси $Ox$).