ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 22 / вариант 2 - 2

Рассмотрим поворот точки $P(1; 0)$ вокруг начала координат на угол $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbf{Z}$. Период слагаемого $\pi k$ равен $\pi$. Так как полный оборот единичной окружности составляет $2\pi$, значения угла $\alpha$ зависят от чётности целого числа $k$: 1. Если $k$ — чётное число ($k = 2m$, $m \in \mathbf{Z}$): $$\alpha = \frac{\pi}{3} + 2\pi m$$ При таких значениях угла получается точка $M_1$, соответствующая углу $\frac{\pi}{3}$ ($60^\circ$). Эта точка расположена в I координатной четверти. Её координаты: $$x_1 = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$ $$y_1 = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ То есть $M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. 2. Если $k$ — нечётное число ($k = 2m + 1$, $m \in \mathbf{Z}$): $$\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi(2m + 1) = \frac{\pi}{3} + \pi + 2\pi m = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m$$ При таких значениях угла получается точка $M_2$, соответствующая углу $\frac{4\pi}{3}$ ($240^\circ$). Эта точка расположена в III координатной четверти и диаметрально противоположна точке $M_1$ (симметрична ей относительно начала координат). Её координаты: $$x_2 = \cos\frac{4\pi}{3} = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \sin\frac{4\pi}{3} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ То есть $M_2\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Ответ: поворот точки $P(1; 0)$ на угол $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbf{Z}$ задаёт две диаметрально противоположные точки на единичной окружности: $M_1\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ в I четверти (угол $\frac{\pi}{3}$) и $M_2\left(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ в III четверти (угол $\frac{4\pi}{3}$).