ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / КР-5 / вариант 2 - 4

1) Решим уравнение: $$ 2 \sin \frac{x}{2} = 1 - \cos x $$ Используем формулу понижения степени для косинуса (формулу половинного аргумента): $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$. Подставим её в уравнение: $$ 2 \sin \frac{x}{2} = 2 \sin^2 \frac{x}{2} $$ Перенесём все слагаемые в одну часть и разделим обе части на $2$: $$ \sin^2 \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2} = 0 $$ Вынесем общий множитель за скобки: $$ \sin \frac{x}{2} \left( \sin \frac{x}{2} - 1 \right) = 0 $$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: $$ \sin \frac{x}{2} = 0 \quad \text{или} \quad \sin \frac{x}{2} - 1 = 0 $$ Решим каждое уравнение: 1. $\sin \frac{x}{2} = 0$ $$ \frac{x}{2} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2. $\sin \frac{x}{2} = 1$ $$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pi + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ к пункту 1: $x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$; $x = \pi + 4\pi n, \; n \in \mathbb{Z}$. --- 2) Решим уравнение: $$ \cos \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) \cos 3x - \cos(\pi - x) \sin 3x = -1 $$ Применим формулы приведения: * $\cos \left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = \sin x$ * $\cos(\pi - x) = -\cos x$ Подставим полученные выражения в уравнение: $$ \sin x \cos 3x - (-\cos x) \sin 3x = -1 $$ $$ \sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x = -1 $$ Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$: $$ \sin(x + 3x) = -1 $$ $$ \sin 4x = -1 $$ Решим простейшее тригонометрическое уравнение: $$ 4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части равенства на $4$: $$ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ к пункту 2: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, \; k \in \mathbb{Z}$.