ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / КР-5 / вариант 2 - 5

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть: $$ (\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha)(1 - \cos 4\alpha) $$ 1. Преобразуем выражение в первых скобках, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус: $$ \operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, а по формуле синуса двойного угла $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$. Получаем: $$ \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = \frac{2}{\sin 2\alpha} $$ 2. Преобразуем выражение во вторых скобках, применив формулу косинуса двойного угла в виде $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ при $x = 2\alpha$: $$ 1 - \cos 4\alpha = 2 \sin^2 2\alpha $$ 3. Перемножим полученные выражения: $$ \frac{2}{\sin 2\alpha} \cdot 2 \sin^2 2\alpha = \frac{4 \sin^2 2\alpha}{\sin 2\alpha} = 4 \sin 2\alpha $$ В результате преобразований получили правую часть исходного равенства: $$ 4 \sin 2\alpha = 4 \sin 2\alpha $$ Тождество доказано.