ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / подготовка к экзамену - 2

Преобразуем левую часть исходного равенства: $$\sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} + \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}}$$ 1. Приведём дроби к общему знаменателю: $$\frac{\sqrt{1 + \sin \alpha}}{\sqrt{1 - \sin \alpha}} + \frac{\sqrt{1 - \sin \alpha}}{\sqrt{1 + \sin \alpha}} = \frac{\left(\sqrt{1 + \sin \alpha}\right)^2 + \left(\sqrt{1 - \sin \alpha}\right)^2}{\sqrt{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}}$$ 2. Упростим числитель и подкоренное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha$: $$\frac{(1 + \sin \alpha) + (1 - \sin \alpha)}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}} = \frac{2}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}$$ 3. По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$: $$\frac{2}{\sqrt{\cos^2 \alpha}} = \frac{2}{|\cos \alpha|}$$ 4. Исследуем знак $\cos \alpha$ с учётом области допустимых значений (ОДЗ): * Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $\cos \alpha \neq 0$ и $\sin \alpha \neq 1$, откуда $\alpha \neq \frac{\pi}{2}$. * При $0 \leqslant \alpha < \frac{\pi}{2}$ угол $\alpha$ принадлежит I четверти, где косинус положителен: $\cos \alpha > 0$. Следовательно, $|\cos \alpha| = \cos \alpha$, и выражение принимает вид: $$\frac{2}{|\cos \alpha|} = \frac{2}{\cos \alpha}$$ *(Примечание: в условии содержится опечатка в промежутке: при $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ значение $\cos \alpha < 0$, что давало бы $\frac{2}{|\cos \alpha|} = -\frac{2}{\cos \alpha}$; тождество верно на интервале $0 \leqslant \alpha < \frac{\pi}{2}$).* Левая часть тождества равна правой части: $\frac{2}{\cos \alpha} = \frac{2}{\cos \alpha}$. Тождество доказано.