ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / КР-5 / вариант 2 - 3

1) Воспользуемся формулами косинуса разности и косинуса суммы углов: $$ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $$ $$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $$ Подставим их в исходное выражение: $$ \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) - (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) = $$ $$ = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = 2 \sin \alpha \sin \beta $$ Ответ: $2 \sin \alpha \sin \beta$. --- 2) Упростим выражение: $$ \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(\pi + \alpha)}{2 \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) \cos(-\alpha) + 1} $$ Преобразуем числитель с помощью формул приведения: - $\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin \alpha$ - $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$ Тогда числитель равен: $$ -\sin \alpha - \cos \alpha = -(\sin \alpha + \cos \alpha) $$ Преобразуем знаменатель, используя свойства чётности и формулы приведения: - $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos \alpha$ - $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ Тогда знаменатель равен: $$ 2 \cdot (-\cos \alpha) \cdot \cos \alpha + 1 = 1 - 2\cos^2 \alpha $$ Применим основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ и формулу разности квадратов: $$ 1 - 2\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2\cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = -(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha) $$ Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь и выполним сокращение: $$ \frac{-(\sin \alpha + \cos \alpha)}{-(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{1}{\cos \alpha - \sin \alpha} $$ Ответ: $\frac{1}{\cos \alpha - \sin \alpha}$.