ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / подготовка к экзамену - 1

1. 6 Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Используем определение тангенса $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и упростим подкоренное выражение: $$ \frac{\operatorname{tg}\alpha - \sin \alpha}{\operatorname{tg}\alpha + \sin \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \sin \alpha} $$ Вынесем $\sin \alpha$ в числителе и знаменателе за скобки: $$ \frac{\sin \alpha \left(\frac{1}{\cos \alpha} - 1\right)}{\sin \alpha \left(\frac{1}{\cos \alpha} + 1\right)} = \frac{\frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1 + \cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $$ Умножим числитель и знаменатель полученной дроби на $(1 - \cos \alpha)$: $$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)}{(1 + \cos \alpha)(1 - \cos \alpha)} = \frac{(1 - \cos \alpha)^2}{1 - \cos^2 \alpha} $$ Применим основное тригонометрическое тождество $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$: $$ \frac{(1 - \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha} $$ Извлечем квадратный корень: $$ \sqrt{\frac{(1 - \cos \alpha)^2}{\sin^2 \alpha}} = \frac{|1 - \cos \alpha|}{|\sin \alpha|} $$ Так как для любого угла $\alpha$ выполняется неравенство $-1 \le \cos \alpha \le 1$, то $1 - \cos \alpha \ge 0$, следовательно, $|1 - \cos \alpha| = 1 - \cos \alpha$. Для всех допустимых значений $\alpha$, при которых определены функции и равенство имеет смысл (арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому $\sin \alpha > 0$ и $|\sin \alpha| = \sin \alpha$): $$ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} $$ Разделим почленно числитель на знаменатель: $$ \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha} - \operatorname{ctg} \alpha $$ Получили выражение, в точности равное правой части исходного равенства: $$ \frac{1}{\sin \alpha} - \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} - \operatorname{ctg} \alpha $$ Тождество доказано.