ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / КР-5 / вариант 1 - 5

Для доказательства тождества преобразуем правую часть выражения: $$ \frac{1}{2} \sin 4\alpha (\operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha) $$ 1. Преобразуем выражение в скобках, выразив котангенс и тангенс через синус и косинус: $$ \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{tg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $$ 2. Применим формулы двойного угла в числителе ($\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$) и в знаменателе ($\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$): $$ \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\frac{1}{2} \sin 2\alpha} = \frac{2 \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $$ 3. Подставим полученный результат в правую часть исходного равенства: $$ \frac{1}{2} \sin 4\alpha \cdot \frac{2 \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \sin 4\alpha \cdot \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $$ 4. Разложим $\sin 4\alpha$ по формуле синуса двойного угла ($\sin 4\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha$): $$ \frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cdot \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = 2 \cos^2 2\alpha $$ 5. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 4\alpha = 2 \cos^2 2\alpha - 1$, откуда: $$ 2 \cos^2 2\alpha = \cos 4\alpha + 1 $$ Получили, что правая часть равна левой: $$ \cos 4\alpha + 1 = \cos 4\alpha + 1 $$ Тождество доказано.