ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 31 / вариант 2 - 7

7. Упростим выражение: $$ \sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)\left(1 + \operatorname{tg}^2(\alpha - \pi)\right) $$ 1) Преобразуем первый множитель, используя периодичность синуса и формулу приведения: $$ \sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\alpha - \frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha $$ 2) Преобразуем второй множитель. Так как период тангенса равен $\pi$, то $\operatorname{tg}(\alpha - \pi) = \operatorname{tg}\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$: $$ 1 + \operatorname{tg}^2(\alpha - \pi) = 1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} $$ 3) Перемножим полученные выражения при условии $\cos\alpha \neq 0$: $$ \cos\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos\alpha} $$ 4) Найдем числовое значение полученного выражения при $\alpha = \frac{2\pi}{3}$: $$ \cos\frac{2\pi}{3} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} $$ $$ \frac{1}{\cos\frac{2\pi}{3}} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2 $$ Ответ: $\frac{1}{\cos\alpha}$; при $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ значение равно $-2$.