ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 31 / вариант 2 - 9

**9.** Докажем тождество: $$ \operatorname{tg}\beta \operatorname{tg}\left(\beta + \frac{3\pi}{2}\right) = -1 $$ *(Цифра 5 перед выражением в сборнике указывает на уровень сложности задания).* **Доказательство:** 1. Преобразуем множитель $\operatorname{tg}\left(\beta + \frac{3\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right)$ с помощью формул приведения: - Аргумент содержит угол $\frac{3\pi}{2}$, поэтому функция меняется на кофункцию: $\operatorname{tg} \rightarrow \operatorname{ctg}$. - Угол $\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right)$ попадает в IV координатную четверть (считая $\beta$ острым углом), где тангенс отрицателен. Получаем: $$ \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right) = -\operatorname{ctg}\beta $$ 2. Подставим результат в левую часть доказываемого тождества: $$ \operatorname{tg}\beta \cdot \operatorname{tg}\left(\beta + \frac{3\pi}{2}\right) = \operatorname{tg}\beta \cdot (-\operatorname{ctg}\beta) = -(\operatorname{tg}\beta \cdot \operatorname{ctg}\beta) $$ 3. По основному тригонометрическому тождеству произведение тангенса и котангенса одного аргумента равно единице при всех допустимых значениях $\beta$ ($\operatorname{tg}\beta \cdot \operatorname{ctg}\beta = 1$ при $\beta \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$): $$ -(\operatorname{tg}\beta \cdot \operatorname{ctg}\beta) = -1 $$ Получили, что левая часть равна правой: $$ -1 = -1 $$ Тождество доказано.