ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 31 / вариант 2 - 10

**10.** Докажем тождество: $$ \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}{\tg(\pi + \alpha)} \cdot \frac{\ctg\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\tg\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)} = -\sin\alpha $$ Применим формулы приведения к каждому множителю в левой части: 1) $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha$ (III четверть, синус отрицательный, функция меняется на кофункцию); 2) $\tg(\pi + \alpha) = \tg\alpha$ (III четверть, тангенс положительный, функция не меняется); 3) $\ctg\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\tg\alpha$ (II четверть, котангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию); 4) $\tg\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) = -\tg\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\ctg\alpha$ (используем нечётность тангенса и формулу приведения для III четверти). Подставим полученные выражения в левую часть тождества: $$ \frac{-\cos\alpha}{\tg\alpha} \cdot \frac{-\tg\alpha}{-\ctg\alpha} = \frac{-\cos\alpha \cdot (-\tg\alpha)}{\tg\alpha \cdot (-\ctg\alpha)} $$ Сократим дробь на $\tg\alpha$: $$ \frac{\cos\alpha \cdot \tg\alpha}{-\tg\alpha \cdot \ctg\alpha} = -\frac{\cos\alpha}{\ctg\alpha} $$ Так как $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, получаем: $$ -\frac{\cos\alpha}{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}} = -\cos\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\sin\alpha $$ Левая часть тождества равна правой: $$ -\sin\alpha = -\sin\alpha $$ Тождество доказано.