ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 31 / вариант 1 - 7

Упростим выражение с помощью формул приведения: 1. Преобразуем функции, входящие в числитель: - $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha$ (в силу нечётности синуса и формулы приведения для угла $\pi - \alpha$); - $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$. 2. Преобразуем функции, входящие в знаменатель: - $\cos(\alpha - \pi) = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ (в силу чётности косинуса и формулы приведения для угла $\pi - \alpha$); - $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha$ (так как угол $\frac{3\pi}{2} - \alpha$ лежит в III четверти, где синус отрицателен, а аргумент вида $\frac{3\pi}{2}$ меняет функцию на кофункцию). 3. Подставим полученные выражения в исходную дробь: $$ \frac{\sin(\alpha - \pi) - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)}{\cos(\alpha - \pi) + \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)} = \frac{-\sin\alpha - \sin\alpha}{-\cos\alpha + (-\cos\alpha)} = \frac{-2\sin\alpha}{-2\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha $$ 4. Вычислим значение полученного выражения при $\alpha = \frac{5\pi}{4}$: $$ \operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $$ Ответ: 1