ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 31 / вариант 1 - 8

Упростим выражение, применив формулы приведения и свойство периодичности тригонометрических функций к каждому слагаемому: 1) Для числителя: * $\sin\left(\frac{19\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(8\pi + \frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha$; * $\cos(7\pi + \alpha) = \cos(6\pi + \pi + \alpha) = \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$. Тогда числитель равен: $$ -\cos\alpha + (-\cos\alpha) = -2\cos\alpha $$ 2) Для знаменателя: * $\cos\left(\frac{11\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\left(4\pi + \frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha$; * $\sin(\alpha - \pi) = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha$. Тогда знаменатель равен: $$ \sin\alpha - (-\sin\alpha) = \sin\alpha + \sin\alpha = 2\sin\alpha $$ 3) Подставим полученные результаты в исходную дробь: $$ \frac{-2\cos\alpha}{2\sin\alpha} = -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\operatorname{ctg}\alpha $$ 4) Вычислим значение полученного выражения при $\alpha = \frac{5\pi}{6}$: $$ -\operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\operatorname{ctg}\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\left(-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $$ Ответ: $\sqrt{3}$.