ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 31 / вариант 1 - 10

Докажем тождество: $$ \frac{\sin(\beta - \pi) \sin(2\pi - \beta) \cos(\beta - 2\pi)}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) \operatorname{ctg}(\pi - \beta) \operatorname{ctg}\left(\beta + \frac{3\pi}{2}\right)} = \sin^2\beta $$ *(В условии в последнем множителе знаменателя содержится опечатка: вместо переменной $\alpha$ должна стоять переменная $\beta$).* Преобразуем выражение в левой части тождества с помощью формул приведения и свойств тригонометрических функций. 1) Преобразуем множители числителя: * $\sin(\beta - \pi) = -\sin(\pi - \beta) = -\sin\beta$ (в силу нечётности синуса и формулы приведения для II четверти); * $\sin(2\pi - \beta) = -\sin\beta$ (период $2\pi$, IV четверть); * $\cos(\beta - 2\pi) = \cos(2\pi - \beta) = \cos\beta$ (в силу чётности косинуса и периода $2\pi$). Тогда числитель равен: $$ (-\sin\beta) \cdot (-\sin\beta) \cdot \cos\beta = \sin^2\beta \cos\beta $$ 2) Преобразуем множители знаменателя: * $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) = \cos\beta$ (функция меняется на кофункцию, I четверть); * $\operatorname{ctg}(\pi - \beta) = -\operatorname{ctg}\beta$ (II четверть, котангенс отрицателен); * $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \beta\right) = -\operatorname{tg}\beta$ (функция меняется на кофункцию, IV четверть). Тогда знаменатель равен: $$ \cos\beta \cdot (-\operatorname{ctg}\beta) \cdot (-\operatorname{tg}\beta) = \cos\beta \cdot (\operatorname{ctg}\beta \cdot \operatorname{tg}\beta) = \cos\beta \cdot 1 = \cos\beta $$ 3) Подставим полученные результаты в левую часть равенства: $$ \frac{\sin^2\beta \cos\beta}{\cos\beta} = \sin^2\beta $$ Получили $\sin^2\beta = \sin^2\beta$, что и требовалось доказать.