ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / задание для интересующихся математикой - 9

1) Решим неравенство: $$5 \cdot 9^x - 18 \cdot 15^x + 9 \cdot 25^x > 0$$ Так как $9^x = (3^x)^2$, $15^x = 3^x \cdot 5^x$, а $25^x = (5^x)^2$, данное неравенство является однородным показательным неравенством второй степени. Разделим обе части неравенства на $25^x$. Так как $25^x > 0$ при любых действительных $x$, знак неравенства сохраняется: $$5 \cdot \frac{9^x}{25^x} - 18 \cdot \frac{15^x}{25^x} + 9 > 0$$ $$5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{2x} - 18 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x + 9 > 0$$ Введем замену переменной: пусть $t = \left(\frac{3}{5}\right)^x$, где $t > 0$. Получаем квадратное неравенство: $$5t^2 - 18t + 9 > 0$$ Найдем корни квадратного трехчлена $5t^2 - 18t + 9 = 0$: $$D_1 = (-9)^2 - 5 \cdot 9 = 81 - 45 = 36 = 6^2$$ $$t_1 = \frac{9 - 6}{5} = \frac{3}{5}, \quad t_2 = \frac{9 + 6}{5} = 3$$ Решением неравенства относительно $t$ с учетом условия $t > 0$ является: $$0 < t < \frac{3}{5} \quad \text{или} \quad t > 3$$ Вернемся к переменной $x$: 1. $\left(\frac{3}{5}\right)^x < \frac{3}{5}$ Так как основание $0 < \frac{3}{5} < 1$, показательная функция убывает, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $$x > 1$$ 2. $\left(\frac{3}{5}\right)^x > 3$ Так как основание $0 < \frac{3}{5} < 1$, логарифмируя обе части по основанию $\frac{3}{5}$, меняем знак неравенства: $$x < \log_{\frac{3}{5}} 3$$ Объединяя полученные промежутки, имеем $x < \log_{\frac{3}{5}} 3$ или $x > 1$. Ответ: $x < \log_{\frac{3}{5}} 3$, $x > 1$. --- 2) Решим неравенство: $$3 \cdot 49^x - 16 \cdot 21^x + 21 \cdot 9^x < 0$$ Так как $49^x = (7^x)^2$, $21^x = 7^x \cdot 3^x$, $9^x = (3^x)^2$, разделим обе части неравенства на $9^x > 0$: $$3 \cdot \frac{49^x}{9^x} - 16 \cdot \frac{21^x}{9^x} + 21 < 0$$ $$3 \cdot \left(\frac{7}{3}\right)^{2x} - 16 \cdot \left(\frac{7}{3}\right)^x + 21 < 0$$ Пусть $t = \left(\frac{7}{3}\right)^x$, где $t > 0$. Получаем неравенство: $$3t^2 - 16t + 21 < 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $3t^2 - 16t + 21 = 0$: $$D_1 = (-8)^2 - 3 \cdot 21 = 64 - 63 = 1$$ $$t_1 = \frac{8 - 1}{3} = \frac{7}{3}, \quad t_2 = \frac{8 + 1}{3} = 3$$ Решением квадратного неравенства является интервал: $$\frac{7}{3} < t < 3$$ Возвращаясь к переменной $x$, получаем двойное показательное неравенство: $$\frac{7}{3} < \left(\frac{7}{3}\right)^x < 3$$ $$\left(\frac{7}{3}\right)^1 < \left(\frac{7}{3}\right)^x < 3$$ Так как основание $\frac{7}{3} > 1$, показательная функция возрастает, поэтому знаки неравенства сохраняются: $$1 < x < \log_{\frac{7}{3}} 3$$ Ответ: $1 < x < \log_{\frac{7}{3}} 3$.