ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 4 / задание для интересующихся математикой - 11

**11.** Решим неравенство: $$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27(x+4)} > 5\sqrt{\log_3(x+4)} $$ **1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а аргументы логарифмов — строго положительными: $$ \begin{cases} x + 4 > 0 \\ \log_3(x + 4) \geqslant 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -4 \\ x + 4 \geqslant 3^0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -4 \\ x + 4 \geqslant 1 \end{cases} \iff x \geqslant -3 $$ Таким образом, ОДЗ: $x \geqslant -3$. **2. Преобразование левой части неравенства:** Используем свойства логарифма: $$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{27(x+4)} = \log_{3^{-1}} (27(x+4))^{-1} = \frac{-1}{-1} \log_3(27(x+4)) = \log_3(27(x+4)) $$ Так как при $x \geqslant -3$ выражение $x+4 > 0$, разложим логарифм произведения в сумму логарифмов: $$ \log_3(27(x+4)) = \log_3 27 + \log_3(x+4) = 3 + \log_3(x+4) $$ Исходное неравенство принимает вид: $$ 3 + \log_3(x+4) > 5\sqrt{\log_3(x+4)} $$ **3. Замена переменной:** Пусть $t = \sqrt{\log_3(x+4)}$, где $t \geqslant 0$. Тогда $\log_3(x+4) = t^2$. Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $$ t^2 + 3 > 5t $$ $$ t^2 - 5t + 3 > 0 $$ Найдем нули квадратного трехчлена $t^2 - 5t + 3 = 0$: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13 $$ $$ t_1 = \frac{5 - \sqrt{13}}{2}, \quad t_2 = \frac{5 + \sqrt{13}}{2} $$ Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $5 - \sqrt{13} > 0$, следовательно, оба корня положительны ($0 < t_1 < t_2$). Решением неравенства $t^2 - 5t + 3 > 0$ с учетом ограничения $t \geqslant 0$ является объединение промежутков: $$ 0 \leqslant t < \frac{5 - \sqrt{13}}{2} \quad \text{или} \quad t > \frac{5 + \sqrt{13}}{2} $$ Так как обе части каждого неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ 0 \leqslant t^2 < \left(\frac{5 - \sqrt{13}}{2}\right)^2 \quad \text{или} \quad t^2 > \left(\frac{5 + \sqrt{13}}{2}\right)^2 $$ Вычислим квадраты граничных значений: $$ \left(\frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}\right)^2 = \frac{25 \pm 10\sqrt{13} + 13}{4} = \frac{38 \pm 10\sqrt{13}}{4} = \frac{19 \pm 5\sqrt{13}}{2} $$ **4. Обратная замена:** Возвращаемся к переменной $x$, учитывая, что $t^2 = \log_3(x+4)$: 1) Первый случай: $$ 0 \leqslant \log_3(x+4) < \frac{19 - 5\sqrt{13}}{2} $$ Так как основание логарифма $3 > 1$, потенцируем неравенство: $$ 3^0 \leqslant x + 4 < 3^{\frac{19 - 5\sqrt{13}}{2}} $$ $$ 1 \leqslant x + 4 < 3^{\frac{19 - 5\sqrt{13}}{2}} $$ $$ -3 \leqslant x < 3^{\frac{19 - 5\sqrt{13}}{2}} - 4 $$ 2) Второй случай: $$ \log_3(x+4) > \frac{19 + 5\sqrt{13}}{2} $$ $$ x + 4 > 3^{\frac{19 + 5\sqrt{13}}{2}} $$ $$ x > 3^{\frac{19 + 5\sqrt{13}}{2}} - 4 $$ Оба полученных промежутка удовлетворяют ОДЗ ($x \geqslant -3$). Ответ: $-3 \leqslant x < 3^{\frac{19-5\sqrt{13}}{2}} - 4, \quad x > 3^{\frac{19+5\sqrt{13}}{2}} - 4.$